¿Cuál es mayor y por qué?

Si nos hacen la siguiente pregunta:

¿Cuál de los dos números es mayor?

\sqrt[100]{100}\text{ vs }\sqrt[101]{101}

Puede resultar un poco complicado, pero veamos este ejemplo:

¿Cuál de los dos números es mayor?

\sqrt{2}\text{ vs }\sqrt[3]{3}

¿Cómo podemos resolverlo?

Podemos razonar en lo siguiente:

Sabemos que:

\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}

Esto tiene sentido, ¿no? ¿Si probamos con más valores?

\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}

Parece que puede funcionar, probemos ahora con uno más:

\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[4]{4}

¿Es esto correcto? Parece que no ya que:

\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}=\sqrt[2]{2}

En un principio la desigualdad se mantiene creciente, pero llega un punto en la que la desigualdad cambia. ¿Qué pasará para el caso planteado? ¿Será la desigualdad mayor o menor?

Definamos la siguiente función:

f(x)=x^{1/x}

Podemos usar la derivada de primer orden para ver a partir en qué punto la función aumenta o disminuye:

\frac{d}{dx}x^{1/x}=-x^{\frac{1}{x-2}}(ln(x)-1)

Para encontrar los puntos críticos, tenemos que igualar la derivada a 0. La parte izquierda no puede ser 0, por lo que nos queda lo siguiente:

ln(x)-1=0

x=e

Entonces tenemos el punto crítico:

(e,e^{1/e})

La segunda derivada nos indica que este punto es máximo (pueden confirmarlo).

Eso quiere decir que:

\text{Si }x,y<e\text{ y si }x<y\text{ entonces }\sqrt[x]{x}<\sqrt[y]{y}

\text{Si }x,y>e\text{ y si }x<y\text{ entonces }\sqrt[x]{x}>\sqrt[y]{y}

Si usamos un lenguaje de programación, como Python, podemos ver el comportamiento de nuestra función:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(start=1e-4, stop=120, step=1e-4)
y = x ** (1/x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel(r'$x$')
plt.ylabel(r'$x^{1/x}$')
plt.show()

Graficando podemos ver lo siguiente:

La función empieza aumentando, hasta que llega al valor de e, luego del cual empieza a disminuir.

Como 100 y 101 son mayores que e, por lo tanto:

\sqrt[100]{100}>\sqrt[101]{101}

Pero, ¿Qué pasa con \sqrt{2}\text{ vs }\sqrt[3]{3}?

Bueno, 2<e\text{ y }3>e, ¿Qué podemos hacer en este caso? Bueno, veamos:

\sqrt{2}\text{ vs }\sqrt[3]{3}

2^{1/2}\text{ vs }3^{1/3}

(2^{1/2})^{6}\text{ vs }(3^{1/3})^{6}

2^{3}\text{ vs }3^{2}

8\text{ vs }9

8<9

Por lo tanto,\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}

Espero que haya gustado esta publicación. Todo comentario es bienvenido.

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