¿Cuál es mayor y por qué?

Si nos hacen la siguiente pregunta:

¿Cuál de los dos números es mayor?

$\sqrt[100]{100}\text{ vs }\sqrt[101]{101}$

Puede resultar un poco complicado, pero veamos este ejemplo:

¿Cuál de los dos números es mayor?

$\sqrt{2}\text{ vs }\sqrt[3]{3}$

¿Cómo podemos resolverlo?

Podemos razonar en lo siguiente:

Sabemos que:

$\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}$

Esto tiene sentido, ¿no? ¿Si probamos con más valores?

$\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}$

Parece que puede funcionar, probemos ahora con uno más:

$\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[4]{4}$

¿Es esto correcto? Parece que no ya que:

$\sqrt[1]{1}<\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}=\sqrt[2]{2}$

En un principio la desigualdad se mantiene creciente, pero llega un punto en la que la desigualdad cambia. ¿Qué pasará para el caso planteado? ¿Será la desigualdad mayor o menor?

Definamos la siguiente función:

$f(x)=x^{1/x}$

Podemos usar la derivada de primer orden para ver a partir en qué punto la función aumenta o disminuye:

$\frac{d}{dx}x^{1/x}=-x^{\frac{1}{x-2}}(ln(x)-1)$

Para encontrar los puntos críticos, tenemos que igualar la derivada a 0. La parte izquierda no puede ser 0, por lo que nos queda lo siguiente:

$ln(x)-1=0$

$x=e$

Entonces tenemos el punto crítico:

$(e,e^{1/e})$

La segunda derivada nos indica que este punto es máximo (pueden confirmarlo).

Eso quiere decir que:

$\text{Si }x,y<e\text{ y si }x<y\text{ entonces }\sqrt[x]{x}<\sqrt[y]{y}$

$\text{Si }x,y>e\text{ y si }x<y\text{ entonces }\sqrt[x]{x}>\sqrt[y]{y}$

Si usamos un lenguaje de programación, como Python, podemos ver el comportamiento de nuestra función:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(start=1e-4, stop=120, step=1e-4)
y = x ** (1/x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel(r'$x$')
plt.ylabel(r'$x^{1/x}$')
plt.show()

Graficando podemos ver lo siguiente: