Introducción

La semana pasada fui al restaurante a cenar por el aniversario de mis padres. Luego de comer, cogí los famosos palillos de dientes para intentar limpiar los restos de comida que quedaban entre mis dientes:

Luego de usar este famoso invento, tengo la costumbre de partirlo, ya sea en dos, tres, cuatro, … partes:

Pero esta vez, recordé una pregunta que vi en un libro de probabilidades. La pregunta es la siguiente:

Supongamos que rompemos un palillo en 3 partes ¿Cuál es la  probabilidad de formar un triángulo?

Buscando en internet, logré encontrar la respuesta. Muchos resultados usando analítica y fórmulas matemáticas muy interesantes.

En esta publicación intentaré calcularlo pero de dos maneras: de forma analítica y mediante simulación en Python y R.

Solución analítica

Partimos, por simplificar, con un palillo de longitud = 1. En este ejemplo, mi palillo no tiene puntas xD.

Luego ubicaremos dos puntos e de manera aleatoria, formando 3 partes: a, b, c

En esta gráfica estamos asumiendo que . Esto lo tendremos en cuenta más adelante.

Además, podemos ver que , y

Veamos estos casos:

• Partimos el palillo en 3 partes, pero no forman un triangulo:

• Partimos el palillo en 3 partes, formamos un triángulo:

Para calcular la probabilidad de formar un triángulo necesitamos calcular el siguiente cociente:

Casos totales

Necesitamos calcular todos los posibles valores que pueden tomar e . Como nuestro palillo mide 1 unidad y los cortes generan longitudes aleatorias, pero positivas, los posibles valores que pueden tomar e  están entre 0 y 1. Graficando los posibles valores:

Vemos, del gráfico que x e y pueden ser cualquier punto dentro del cuadrado. Los casos totales serán el área del cuadrado, es decir.

Casos favorables

Para calcular los casos favorables, vamos a poner la condición que

Al final tendremos esto en cuenta esta condición.

Para que 3 lados, formen un triángulo, deben de cumplir la condición de que cada lado debe ser menor a la suma de los otros lados. Es decir, debe cumplir estas 3 condiciones:

Como , y , tenemos lo siguiente:

Reduciendo las 3 condiciones (para ):

Graficando los casos válidos:

La región oscura indica los casos favorables. El área de esta región es la octava parte de todo el recuadro.

Aún no hemos terminado. Si recuerdan pusimos la condición de que , ahora queda probar en el caso que .

Esto implica que , y . Este cambio genera la siguiente región:

Cuya área es también la octava parte del cuadrado.

Sumando las dos regiones:

Por lo que la probabilidad de formar un triángulo luego de partir un palillo en 3 partes es igual a:

Este valor es independiente de la longitud del palillo, si no me crees, prueba con calcularlo usando otra longitud ;).

Ahora intentaremos resolver el mismo problema mediante simulaciones usando Python y R.

Simulación en Python y R

Ahora intentaremos resolver el problema mediante simulación. Usaré los dos lenguajes de programación más usados para la ciencia de Datos:

Python

R

Para el caso de Python necesitamos importar las siguientes librerías:

import tqdm
import random
import matplotlib.pyplot as plt
from typing import Tuple

Rompiendo el palillo

La siguiente función forma 3 lados, a partir de un palillo de longitud configurable (esto para que puedas probar con distintos valores y comprobar que la probabilidad es la misma).

Python

def romper_palillo(longitud: float) -> Tuple[float, float, float]:
    '''
    divide un palillo en 3 partes
    '''
    x = random.uniform(a=0, b=longitud)
    y = random.uniform(a=0, b=longitud)
    
    a = min(x, y)
    b = abs(x - y)
    c = longitud - (a + b)
    
    return a, b, c

R

romper_palillo = function(longitud){
  # Divide un palillo en 3 partes
  x = runif(n = 1, min = 0, max = longitud)
  y = runif(n = 1, min = 0, max = longitud)

  a = min(x, y)
  b = abs(x - y)
  c = longitud - (a + b)

  return(list(a = a, b = b, c = c))
}

¿Es un tríangulo?

Ahora necesitamos crear una función que, a partir de 3 números: , podemos construir un triángulo. Es decir, la función debe comprobar la siguiente condición:

Python

def es_triangulo(a: float, b: float, c: float) -> bool:
    '''
    Determina si los lados de un triángulo son válidos.
    '''
    return a + b > c and a + c > b and b + c > a

R

es_triangulo = function(a, b, c){
  # Determina si los lados de un triángulo son válidos.
  return(a + b > c & a + c > b & b + c > a)
}

Calculando probabilidades

Listo, ya tenemos las dos funciones importantes: partir el palillo y validar que el resultado forme un triángulo.

La siguiente función estima la probabilidad de formar un triángulo:

• Para numero de iteraciones.
• Partimos el palillo en 3 partes.
• Verificamos que el resultado forme un triangulo.
  • Si forma el triángulo, es un éxito
• Por último, estimamos la probabilidad como: el número de éxitos / número de iteraciones.

Python

def simula_probabilidad(longitud: float = 1.0, num_iter: int = 1000) -> float:
    '''
    Simula la probabilidad de que un palillo se rompa en 3 partes.
    '''
    num_triangulos_formados = 0
    for _ in range(num_iter):
        a, b, c = romper_palillo(longitud)
        if es_triangulo(a, b, c):
            num_triangulos_formados += 1
    return num_triangulos_formados / num_iter

R

simula_probabilidad = function(longitud = 1.0, num_iter = 1000){
  # Simula la probabilidad de que un palillo se rompa en 3 partes
  num_triangulos_formados = 0
  for (i in seq(1, num_iter)){
    lados = romper_palillo(longitud)
    a = lados$a
    b = lados$b
    c = lados$c

    if (es_triangulo(a, b, c)){
      num_triangulos_formados = num_triangulos_formados + 1
    }
  }
  return(num_triangulos_formados / num_iter)
}

Veamos a continuación cómo converge nuestras probabilidades a medida que aumentamos el número de iteraciones.

El script es el siguiente (Python):

iteraciones = range(1, 10000)
probabilidades = [simula_probabilidad(num_iter=i) for i in tqdm.tqdm(iteraciones)]

plt.plot(iteraciones, probabilidades)
plt.axhline(y=0.25, color='r', linestyle='-')

El eje x indica el número de iteraciones, y el eje y la probabilidad estimada con ese número de iteraciones:

Del gráfico podemos ver que, a medida que aumentamos el número de iteraciones, la probabilidad se acerca a 0.25, que es justo la probabilidad que calculamos de manera analítica.

Conclusión

En esta publicación hemos resuelto el problema de calcular la probabilidad de formar un triángulo a partir de partir un palillo en 3 partes.

Lo hemos resuelto de manera analítica y simulando en Python y R

Los códigos que he usado lo pueden encontrar el en siguiente enlace:

https://github.com/Jazielinho/probabilidad_triangulo

Cualquier comentario es bienvenido 🙂